Oggi vorrei provare ad accorrere in soccorso di tutti quei ragazzi che fanno a cazzotti con le funzioni trigonometriche, e che quando devono applicarle per risolvere un triangolo rettangolo sono botte da orbi. La farò più facile possibile.
Una piccola intro.
Cosa sono seno e coseno di un certo angolo? Quello che interessa a noi per ora è questo: seno e coseno sono due proiezioni di un segmento su due assi .
Cosa sono le proiezioni? Sono ombre. Immagina di illuminare un segmento: questo proietta un'ombra sotto di esso. Quella è una proiezione.
Che segmento? Un raggio di una circonferenza. Che assi? Due assi perpendicolari fra loro che passano per il centro della circonferenza. Un'asse è verticale, l'altra orizzontale.
La proiezione del raggio sull'asse orizzontale la chiamiamo coseno, mentre su quella verticale, seno.
Ecco un disegno.
Bisogna poi che sappiate un'altra cosa: fissato un angolo, seno e coseno aumentano e diminuiscono proporzionalmente con il raggio. Vi spiego quello che intendo dire con un disegno. L'esempio è riferito al coseno, ma si applica allo stesso modo anche al seno.
Come potete vedere, la proiezione "coseno"(come d'altra parte quella "seno") dipende dal raggio. Se il raggio è 1, la proiezione vale 1*cos(Angolo), mentre se raggio è 2 vale 2*cos(Angolo) e via dicendo.
Fatta questa premessa non mi resta che dirvi come attaccare un problema.
L'ideale sarebbe sviluppare una specie di "sesto senso" riguardo a che equazione scrivere per quel determinato caso. Ed è questo che cercherò di farvi acquisire.
(Caso A)
I due cateti, che sono perpendicolari fra loro, sono uno il seno e l'altro il coseno di uno dei due angoli, α o β. Di conseguenza l'ipotenusa c è il raggio. Potete vederla così.
Le equazioni da scrivere quindi, sono quelle sui due cateti. Dovrete poi metterle a sistema.
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| Caso in cui si conosca α |
Nel caso in cui invece si conosca β è sufficiente ribaltare il triangolo come nell'immagine sotto, in modo da far diventare questo, l'angolo per cui si calcola seno e coseno. c rimane il raggio.
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| Caso in cui si conosca β |
La sensibilità che bisogna sviluppare consiste quindi nel capire quale angolo mettere al centro della circonferenza trigonometrica, e come sfruttare la proporzionalità di cui vi ho parlato più sopra. In pratica il problema si traduce in: "Come ti infilo il triangolo nella circonferenza trigonometrica per poter godere più felicemente delle sue proprietà di proporzionalità?".
(Caso B)
Ecco un'altra applicazione.
Posso ricorrere anche alla funzione tangente in alcuni casi. Vediamo un esempio.
In questo caso, l'ipotenusa non corrisponde più con il raggio. Il raggio ora è il cateto in basso. L'altro cateto quindi è il valore della tangente dell'angolo moltiplicata per il nostro nuovo raggio.
Questo valeva per l'angolo β, ma come ho spiegato sopra, posso benissimo ribaltare il triangolo e usare gli angoli come più mi pare e piace.
Ricapitolando...
Posso fare ciò che mi pare e piace del triangolo, posso farlo piegare a (quasi) tutti i miei più torbidi e bassi voleri, tenendo però a mente alcune cose:
- L'ipotenusa non potrà mai essere un seno o un coseno di qualche angolo ma solo un raggio o l'intercetta della tangente (come nel caso appena qui sopra): trattatela di conseguenza.
- I due cateti possono essere:
Attrezzi in rete
Mi sento di citare questa applet dove è possibile trovare tutto: valori di seno, coseno, tangente e di altre funzioni trigonometriche meno usate ma sempre utili e i loro posizionamenti nel piano e nella circonferenza trigonometrica. Cliccare ovunque sul grafico o sulla circonferenza immobilizzerà la figura. Un altro click la sbloccherà.
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